Kugel und Pyramide
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Kugel
Damit die Punkte \(P\), \(Q\), \(R\) und \(S\) auf der Oberfläche der Kugel liegen, muss der Mittelpunkt \(M_K\) der Kugel auf einer Geraden h liegen, die durch den Mittelpunkt \(M_Q\) des Quadrates \(PQRS\) verläuft. Dabei steht die Gerade orthogonal auf dem Quadrat.
Der Punkt \(M_Q\) hat die Koordinaten \((2{,}5|2{,}5|5)\). Demnach haben alle Punkte auf der Geraden \(h\) den Wert \(x_1=2{,}5\) und den Wert \(x_2=2{,}5\), da das Quadrat \(PQRS\) parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene liegt.
Es sind 2 Mittelpunkte der Kugel denkbar, eine oberhalb \(\left(M_{K_1}\right)\) und einer unterhalb \(\left(M_{K_2}\right)\) des Quadrates mit den Koordinaten \((2{,}5|2{,}5|5+t)\) bzw. \((2{,}5|2{,}5|5-t)\). Wir bestimmen die Mittelpunkte, indem wir \(t\) ermitteln.
Die Seitenkanten der Pyramide, also jeweils die Verbindung des Eckpunktes des Quadrates zur Spitze \(M_{K_1}\) der Pyramide hat die Länge des Radius \(r=\sqrt{\frac{33}{2}}\).
\(t\) wird mit dem Satz des Pythagoras über das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck ermittelt. Dazu berechnen wir zunächst die Strecke \(\overline{QM_Q}\):
\(\\\) \( \quad \begin{array}{ r c l } \overline{QM_Q} & = & \frac{1}{2}\overline{QS} \\[8pt] & = & \frac{1}{2}\bigl|(\vec{s}-\vec{q}) \bigl| \\[8pt] & = & \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ 5 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}5 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right)\end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[10pt] & = & \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-5 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)\end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[10pt] & = & \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-5)^2 +5^2} \\[8pt] & = & \frac{5}{2} \cdot \sqrt{2} \\ \end{array} \)
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Mit dem Satz des Pythagoras gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l l } t^2 + \overline{QM_Q}^2 & = & r^2 & \\[8pt] t^2 + \left(\frac{5}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2 & = & \left( \sqrt{\frac{33}{2}}\right)^2 & \\[8pt] t^2 + \frac{25}{2} & = & \frac{33}{2} & | - \frac{25}{2} \\[8pt] t^2 & = & 4 & | \sqrt{\dots} \\[6pt] t_1 & = & 2 & \\[6pt] t_2 & = & -2 & \\ \end{array} \)
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Damit ergeben sich die Kugelmittelpunkte
\( \quad M_{K_1}(2{,}5|2{,}5|7) \quad \textit{und} \quad M_{K_2}(2{,}5|2{,}5|3) \)
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und wir erhalten die beiden Kugelgleichungen
\( \quad \begin{array}{ c } K_1 : (x_1 - 2{,}5)^2 + (x_2 - 2{,}5)^2 + (x_3 - 7)^2 = \frac{33}{2} \\[8pt] K_2: (x_1 - 2{,}5)^2 + (x_2 - 2{,}5)^2 + (x_3 - 3)^2 = \frac{33}{2} \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Pyramide
Die Höhe der Pyramide, also die orthogonale Entfernung der Spitze, hier mit Punkt \(R\) gezeichnet, von der Grundfläche, ist an den verschiedenen Positionen unterschiedlich.
Sei \(p\) nun eine Gerade, auf der die Punkte der möglichen Pyramidenspitzen liegen und die Strecke \(\overline{QR}\) enthält. So gibt es eine Position auf \(p\) , in der die Höhe \(2\) beträgt. Diese Position kann allerdings auch außerhalb der Strecke \(\overline{QR}\) liegen. Dies gilt es nun zu prüfen.
Alle Punkte der Geraden \(p\) haben die Koordinaten \((5|y|5)\), wobei \(y\) ein Element der reellen Zahlen ist. Dabei gilt für alle Punkte auf der Strecke \(\overline{QR}\), dass \(0 \leq y \leq 5\) ist.
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Wir berechnen \(y\) mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene:
\( \quad Abstand = \biggl|\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3 - d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \biggl| \)
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Wir setzen die Höhe \(2\), den Punkt und die Ebene ein. Dabei können wir die Betragsstriche weglassen, da der Punkt oberhalb der Ebene liegt. Das heißt, dass der Abstand positiv sein muss.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 2 & = & \dfrac{5 \cdot 5 + 4 \cdot y + 5 \cdot 5 - 30}{\sqrt{5^2 + 4^2 + 5^2}} & \\[10pt] 2 & = & \dfrac{5 \cdot 5 + 4y + 5 \cdot 5 - 30} {\sqrt{66}} & | \cdot \sqrt{66} \\[8pt] 2 \cdot \sqrt{66} & = & 4y + 20 & | \; : 4 \\[8pt] \frac{1}{2} \cdot \sqrt{66} & = & y + 5 & |\; - 5 \\[8pt] \frac{1}{2} \cdot \sqrt{66} - 5 & = & y & \\[6pt] y & \approx & -0{,}938& \\ \end{array} \)
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Wir erhalten als Lösung den Punkt \((5| -0{,}938|5)\), der außerhalb der Strecke \(\overline{QR}\) liegt. Danach kann die Höhe der Pyramide für jeden Punkt auf der Strecke \(\overline{QR}\) als Spitze der Pyramide nicht \(2\) sein.
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